Лабораторная работа №3. Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Краткая теория

Математический маятник — это модель: материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити. На практике его хорошо заменяет небольшой тяжёлый шарик на длинной тонкой нити. Длину маятника L измеряют от точки подвеса до центра шарика.

При малых углах отклонения (не больше 10°) период колебаний маятника не зависит от массы груза и от амплитуды: T = 2π√(L/g). Период находят по времени t, за которое совершается N полных колебаний: T = t/N. Из формулы периода выражают ускорение свободного падения: g = 4π²L / T².

Если возвести формулу периода в квадрат, получится T² = (4π²/g)·L. Значит, квадрат периода прямо пропорционален длине маятника: график T² от L — прямая, проходящая через начало координат. Её угловой коэффициент k = 4π²/g, поэтому g = 4π²/k. Такой способ надёжнее расчёта по одному опыту: прямая проводится по точкам нескольких длин и сглаживает случайные ошибки.

У поверхности Земли g ≈ 9,8 м/с². Чем больше колебаний отсчитано, тем меньше вклад времени реакции экспериментатора в погрешность периода.

Виртуальный опыт

В «Механической лаборатории» откройте режим «Колебания» → «Математический маятник». Задайте длину нити и небольшую амплитуду, укажите число колебаний и измерьте время фотоворотами (они сами отсчитывают заданное число колебаний) или секундомером вручную. Запишите T для нескольких длин в журнал, переключите график на «T² от L» и по наклону прямой найдите g; проверьте также, что смена массы груза почти не меняет период.

Ещё одна симуляция по теме: Математический маятник

Расчёт и вывод

Период: T = t / N; ускорение свободного падения: g = 4π²L / T², где 4π² ≈ 39,5.

Например, при L = 1,00 м за N = 20 колебаний получили t = 40,2 с: T = 40,2 / 20 = 2,01 с, T² ≈ 4,04 с², g = 39,5 · 1,00 / 4,04 ≈ 9,8 м/с².

По графику: если на прямой T² от L длине L = 0,50 м соответствует T² = 2,02 с², то k = 2,02 / 0,50 = 4,04 с²/м и g = 39,5 / 4,04 ≈ 9,8 м/с².

Относительная погрешность: ε = ΔL/L + 2·ΔT/T, где ΔT = Δt/N. Например, при Δt = 0,2 с, N = 20, T = 2,01 с, ΔL = 0,005 м и L = 1,00 м: ε ≈ 0,005 + 2 · 0,005 = 0,015, то есть около 1,5 %.

Абсолютная погрешность: Δg = ε · g; ответ записывают в виде g = … ± … м/с².

Шаблон вывода: В ходе работы я определил(а) ускорение свободного падения с помощью математического маятника: g = … ± … м/с², по графику T² от L — g = … м/с². График получился …, это подтверждает, что квадрат периода … длине маятника. Отличие от значения 9,8 м/с² объясняется ….

Контрольные вопросы

1. Какой маятник называют математическим?

   Показать ответ

   Материальную точку, подвешенную на невесомой нерастяжимой нити. Реальный маятник близок к математическому, если размер груза мал по сравнению с длиной нити.

2. Зачем измерять время многих колебаний, а не одного?

   Показать ответ

   Погрешность измерения времени (в основном время реакции) делится на число колебаний, поэтому период получается точнее.

3. Почему угол отклонения должен быть малым?

   Показать ответ

   Формула T = 2π√(L/g) справедлива только для малых колебаний; при больших углах период заметно увеличивается.

4. Как изменится период, если длину нити увеличить в 4 раза?

   Показать ответ

   Период увеличится в 2 раза, так как T пропорционален √L.

5. Как найти g по графику T² от L?

   Показать ответ

   Нужно найти угловой коэффициент прямой k = ΔT²/ΔL и вычислить g = 4π²/k.

Техника безопасности

• Надёжно закрепите штатив, чтобы он не опрокинулся при колебаниях груза.
• Перед опытом проверьте прочность нити и узла.
• Не отклоняйте груз на большой угол и не раскручивайте маятник по кругу.
• Не наклоняйтесь к качающемуся грузу и не стойте на пути его движения.

Учителю

ҚМЖ и СОР по теме этой работы ИИ собирает в кабинете Bilim Plus Ұстаз по кодам целей обучения. Симуляцию можно выдать классу или вывести на доску.

Вопросы

Можно ли выполнить работу без оборудования?

Да, можно выполнить виртуальную лабораторную работу в «Механической лаборатории» (режим «Колебания» → «Математический маятник»). Засчитывать ли её в лабораторный журнал вместо реального опыта, решает учитель.

Как записать вывод?

Приведите значение g из расчёта и по графику с погрешностью, опишите вид графика T² от L, сравните результат с 9,8 м/с² и объясните причину расхождения.

Влияет ли масса груза на период?

Для математического маятника нет: период зависит только от длины нити и ускорения свободного падения. Это можно проверить, заменив шарик более лёгким или тяжёлым при той же длине.